《數思漫想》：如果以一對一配對，自然數跟正偶數怎麼好像一樣多？
文：Chih C. Yang
為何有集合論？
蓋房子前先了解你的數思數跟數麼地基，集合論（Set theory）是漫想現代數學的基礎。
Photo Credit: 三民出版- 集合論
Photo Credit: 三民出版數學的大部分理論，都是配對經由好幾世代的數學家努力，長期累積而來的自然正偶。
但集合論卻是好像在19世紀末由格奧爾格．康托爾（Georg Cantor, 1849-1918）所創立的。
Photo Credit: 三民出版無限集合
康托爾教我們如何藉由比較有限集合的方法去比較無限集合（Infinite Sets）的大小—透過像基數（cardinality，集合的數思數跟數麼元素個數）與可數（denumerability）這些清楚的概念定義。
- 芝諾悖論：阿基里斯和烏龜
在康托爾的漫想年代之前，人們對無限的果對理解非常匱乏，而在數學上的配對無限又是隱晦且充滿矛盾的。芝諾悖論（Zeno's Paradox）就是自然正偶一個這樣的例子（西元前490-425年）。
Photo Credit: 三民出版在賽跑中，阿基里斯讓烏龜的樣多起跑點在他前面領先一段距離，比如說10公尺吧。數思數跟數麼阿基里斯必須跑10公尺才能到達烏龜剛才的起跑點，但當他到達這個起跑點時，烏龜又已經跑到更前面的位置了。無論如何追趕，每當阿基里斯抵達烏龜剛才的位置，烏龜又已經跑到更前面的位置了。因為阿基里斯必須到達沿路上烏龜前進路線的無數多個位置點，所以他根本追不上烏龜。
在中世紀，歐洲的數學發展幾乎是停滯不前的。無限的概念已經變成一門神學而非科學了。
宇宙間大部分的模式都是被認為是有限的，唯一的無限是上帝。
Photo Credit: 三民出版直到16世紀，無限才被接受與紀錄下來，視同數學上一門合理的、正當的研究主題。
Photo Credit: 三民出版無限是多大？
- 在有限的世界中計數
Photo Credit: 三民出版在數字發明之前，牧羊人用一堆小石子與羊群一對一配對，一顆小石子對應一隻羊。當牧羊人拿著小石子與羊群逐一對照，若對照完後發現小石子有剩，則代表有羊隻走失。
Photo Credit: 三民出版在數字發明之後，計數才變成可能的事。在計數時，自然數取代了小石子，並以一對一的方式與羊隻配對。
Photo Credit: 三民出版計數──一種比使用小石子來配對更為抽象的一對一形式──比較有限集合的大小時運作良好。但是當數學家將它拿來比較無限集合的個數時，就導致矛盾與悖論發生。
無限集合的計數
- 悖論1
試著想像以一對一配對方式，計算所有正偶數的個數。
Photo Credit: 三民出版根據上表，你可以看到每一個正偶數都有一個自然數對應。那麼，它看起來好像偶數集合與自然數集合（包括奇數）是「一樣多」的。
- 悖論2
另一個藉由一對一對應來比較大小的例子：
Photo Credit: 三民出版C1和C2是兩個同心圓，a1是C1圓上的一點，a2是C2圓上的一點，且a1與a2都落於從同心圓畫出的一條射線上。因此對每一條我們所畫的射線，我們都可以建立一個圓C1上的點和圓C2上的點之間的一對一對應。
因此，我們可能得到圓C1和圓C2是「相同大小」的結論。
悖論是一種看似矛盾或不合邏輯的敘述，但那也可能是對的。
書籍介紹
《數思漫想－漫畫帶你發現數學中的思考力、邏輯力、創造力》，三民出版
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作者：Chih C. Yang
譯者：陳玉芬、涂佩瑜、李偉任、潘漢文、李靜平、張嘉芸、李伶芳、陳財宏、朱志竣、李少宇
數學不能用背的，需要的是理解！但對於看到冗長的文字解釋，總是讓人乏味無力，甚至完全無法想像！
針對具有不同數學能力的讀者，幫助讀者欣賞和享受現代抽象數學的美，並激發學習各種數學主題的興趣與思維方式。為了保持讀者的熱情，作者使用很多具體的例子來說明一般概念的樣貌。
Photo Credit: 三民出版責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航