《從一到無限大》：所有物體都是四維的──三維屬於空間，一維屬於時間
文：喬治．加莫夫
時間是無限維的維屬第四維
關於第四維的概念經常被認為是很神祕、很值得懷疑的有物於空。我們這些只有長度、體都寬度和高度的──生物，怎麼竟敢奢談什麼四維空間呢？從我們三維的間維頭腦裡能想像出四維的情景嗎？一個四維的正方體或四維的球體該是什麼樣子呢？
當我們說的是「想像」一頭鼻裡噴火、尾上披鱗的屬於巨龍、或一架設有游泳池並在雙翼上有兩個網球場的時間超級客機時，實際上只不過是無限維的維屬在頭腦裡描繪這些東西果真突然出現在我們眼前時的樣子。我們描繪這種圖像的有物於空背景，仍然是體都大家所熟悉的、包括一切普通物體──連同我們本身在內的──三維空間。
如果說這就是間維「想像」這個詞的含義，那我們就想像不了出現在三維空間背景上的屬於四維物體是什麼樣子了，正如同我們不可能將一個三維物體壓進一個平面那樣。時間
不過且慢，無限維的維屬我們確實可以在平面上畫出三維物體來，因而在某種意義上可說是將一個三維物體壓進了平面。然而，這種壓法可不是用水壓機或諸如此類的物理力來實現，而是用「幾何投影」的方法進行的。這兩種將物體（以馬為例）壓進平面的方法的差別，可以從圖24上看出來。
用類比的方法，現在我們可以說，儘管不能把一個四維物體完完全全「壓進」三維空間，但我們能夠討論各種四維物體在三維空間中的「投影」（projection）。不過要記住，四維物體在三維空間中的投影是立體圖形，如同三維物體在平面上的投影是二維圖形一樣。
Photo Credit: 經濟新潮社 為了更理解這個問題，讓我們先考慮一下，生活在平面上的二維扁片人是如何領悟三維立方體的概念的。不難想像，作為三維空間的生物，我們有一個優越之處，即可以從二維空間的上方、即第三個方向來觀察平面上的世界。
將立方體「壓」進平面的唯一方法，是用圖25所示的方法將它「投影」到平面上。旋轉這個立方體，可以得到各式各樣的投影。觀察這些投影，我們那些二維的扁片朋友就多少能對這個叫做「三維立方體」的神祕圖形的性質有一點概念。他們不能「跳出」他們那個面像我們這樣看這個立方體。
不過僅僅是觀看投影，他們也能說出這個東西有八個頂點、十二條邊等等。現在請看圖26，你將發現，你和那些只能從平面上揣摩立方體投影的扁片人一樣處於困境了。事實上，圖中那一家人如此驚愕地研究著的那個古怪複雜的玩意兒，正是一個四維超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。（更確切地說，圖26所示的是四維超正方體的三維投影在紙面上的投影）
仔細端詳這個形體，你很容易發現，它與圖25中令扁片人驚訝不已的圖形具有相同的特徵：普通立方體在平面上的投影是兩個正方形，一個套在另一個裡面，並且頂點和頂點相連；超正方體在一般空間中的投影則由兩個立方體構成，一個套在另一個裡面，頂點也相連。數一數就知道，這個超正方體共有16個頂點、32條邊和24個面。
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Photo Credit: 經濟新潮社 好一個正方體，是吧？
讓我們再來看看四維球體該是什麼樣子。為此，我們最好還是先看一個比較熟悉的例子，即一個普通圓球在平面上的投影。不妨設想將一個標出陸地和海洋的透明的地球投射到一堵白牆上（圖27）。在這個投影上，東西半球當然重疊在一起，而且，從投影上看，美國的紐約和中國的北京離得很近。
但這只是個表面印象。實際上，投影上的每一個點都代表地球上兩個相對的點，而一架從紐約飛到北京的飛機，其投影則會先移動到球體投影的邊緣，然後再一直退回來。儘管從圖上看，兩架不同飛機的航線的投影會重合，但如果它們「確實」分別在不同的半球上飛行，那麼是不會相撞的。
這就是普通球體平面投影的性質。再發揮一下想像力，我們就不難判斷出四維超球體的三維投影的形狀。正如普通圓球的平面投影是兩個相疊（點對點）、只在外面的圓周上連接的圓盤一樣，超球體的三維投影一定是兩個互相貫穿並且外表面相連接的球體。
這種特殊結構，我們在上一章就討論過了，不過那時是作為與封閉球面相類似的三維封閉空間的例子提出的。因此，這裡只需再補充一句：四維球體的三維投影就是上一節講到的兩個沿整個外表皮長在一起的蘋果。
Photo Credit: 經濟新潮社 同樣地，用這種類比的方法，我們能夠解答許多有關四維形體其他性質的問題。不過，無論如何，我們也絕不可能在我們這個物理空間內「想像」出第四個獨立的方向來。
但是，只要再多思考一下，你就會發現到，實在不需要把第四個方向看得太神祕。事實上，有一個我們幾乎每天都要用的字眼，可以用來表示、並且也的確就是物理世界的第四個獨立的方向，那就是「時間」。
時間經常和空間一起被用來描述我們周遭發生的事件。當我們說到宇宙間發生的任何事情時，無論是在街上與老朋友邂逅，還是遙遠星體的爆炸，一般都不只說出它發生在何處，還要說出發生在何時。因此，除了表示空間位置的三個方向要素之外，又增添了一個要素──時間。
再想一想，你很容易去意識到，所有的實際物體都是四維的：有三維屬於空間，一維屬於時間。你所住的房屋就是在長度上、寬度上、高度上和時間上伸展的。時間的伸展從蓋房子時算起，到它最後被燒毀，或被某個拆遷公司拆掉，或因年久而坍塌為止。
沒錯，時間這個方向要素與其他三維很不相同。時間長短是用鐘錶量度的：滴答聲表示秒，叮噹聲表示小時；而空間間隔則是用尺量度的。再說，你能用一把尺來量度長、寬、高，卻不能把這把尺變成一座鐘來量度時間；還有，在空間裡你能向前、向後、向上走，然後再返回來；而在時間上卻只能從過去到未來，是退不回來的。
不過，即使有上述區別，我們仍然可以將時間看成物理世界的第四個方向要素，不過，要注意它與空間不太一樣。
在選擇時間作為第四維時，採用本章開頭所提到的描繪四維形體的方法會很方便。還記得四維形體，比如那個超正方體的投影是多麼古怪吧？它居然有16個頂點、32條邊和24個面！難怪圖26上的那些人會那麼瞠目結舌地瞪著這個幾何怪物了。
不過，從這個新觀點出發，一個四維正方體就只是一個存在了一段時間的普通立方體。如果你在5月1日用12根鐵絲做成一個立方體，一個月後把它拆掉。那麼，這個立方體的每個頂點都應看作沿時間方向有一個月那麼長的一條線。你可以在每個頂點上掛一本小日曆，每天翻過一頁以表示時間的進程。
現在要數出四維形體的邊數就很容易了（圖28）。在它開始存在時有12條空間邊，結束時也有12條邊，另外又有描述各個頂點
存在時間的8條「時間邊」（如果你不明白，你可以想像有一個正方形，它有四個頂點和四條邊。把它沿著與四條邊垂直的方向，即第三個方向，移動一段等於邊長的距離，就又多出四條）。用同樣方法可以數出它有16個頂點：5月1日有8個空間頂點，6月1日也有8個。用同樣方法還能數出邊了。
面的數目，請讀者自己練習數一數。不過要記住，其中有一些面是這個普通立方體的普通正方形面，而其他的面則是由於原立方體的邊由5月1日伸展到6月1日而形成的「半空間半時間」面。
Photo Credit: 經濟新潮社 這裡所講的有關四維立方體的原則，當然可以應用到任何其他幾何體或物體上去，無論它們是活的還是死的。
具體地說，你可以把你自己想像成一個四維空間體。這很像一根長長的橡膠棒，從你出生之日延續到你生命結束之時。遺憾的是，在紙上無法畫出四維的物體來，所以，我們在圖29上用一個二維扁片人為例來表現這種想法。這裡，我們所取的時間方向是和扁片人所居住的二維平面垂直的。
這幅圖只表示出這個扁片人整個生命中一個很短暫的部分，至於整個過程則要用一根長得多的橡膠棒來表示：以嬰兒開始的那一端很細，在很多年裡一直變動著，直到死時才有固定不變的形狀（因為死人是不動的），然後開始分解。
Photo Credit: 經濟新潮社 如果想要更準確些，我們應該說，這個四維棒是由為數眾多的一束纖維組成的，每一根纖維是一個單獨的原子。在生命過程中，大多數纖維聚在一起成為一群，只有少數在理髮或剪指甲時離去。因為原子是不滅的，人死後，屍體的分解也應視為各纖維絲向各個方向飛去（構成骨骼的原子纖維除外）。
在四維時空幾何學的詞彙中，這樣一根表示每一個單獨物質微粒歷史的線叫做「世界線」（註1）（時空線）。同樣，組成一個物體的一束世界線叫做「世界束」。
圖30是一個天文學例子，顯示太陽、地球和彗星的世界線（註2）。如同前面所舉的例子，我們讓時間軸與二維平面（地球軌道平面）垂直。太陽的世界線在圖中用與時間軸平行的直線表示，因為我們認為太陽是不動的。（註3）地球繞太陽運動的軌道近似於圓形，它的世界線是一條圍繞著太陽世界線的螺旋線。彗星的世界線先靠近太陽的世界線，然後又遠離而去。
Photo Credit: 經濟新潮社 我們看到，從四維時空幾何學的角度來說，宇宙的歷史和拓樸圖形融洽地結合為一體；要研究單個原子、動物或恆星的運動，都只需考慮一束糾結的世界線就行了。
註釋
- 「世界線」這個名詞是本書作者創造和定義的。他在去世前不久寫的自傳，書名就叫做《我的世界線》（My World Line）。──校者
- 這裡原本應該說「世界束」比較恰當。不過從天文學角度來看，恆星和行星都可以當作是點。
- 實際上，太陽相對於其他恆星來說是在運動的。因此，如果選用星系作為基準，太陽的世界線將會是傾斜的。
書籍介紹
《從一到無限大：科學中的事實與臆測》，經濟新潮社出版
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作者：喬治．加莫夫
譯者：暴永寧
《從一到無限大》是當今世界最具影響力的科普經典名著之一，最早出版於1947年，1961年修訂，幾十年來，感動了一代又一代的年輕讀者與科普工作者。
二十世紀偉大的物理學家喬治‧加莫夫，在這本最受歡迎的科普名著當中，以活潑生動的方式介紹了20世紀以來科學的重大進展。先漫談一些基本的數學知識，然後用生動有趣的比喻，闡述了愛因斯坦的相對論和四維時空結構，並討論人們在探索微觀世界（如基本粒子、化學元素、基因）和宏觀世界（如太陽系、星系等）等方面的成就。
這本書融合了數學、物理、化學、生物學、天文學等領域，彼此互相連結、貫穿，讀者在國高中所學到的分散、片段的科學知識，在此能夠連結起來，獲得更深的了解，並激發無窮的好奇心。
Photo Credit: 經濟新潮社責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航