文：鄭樂雋（Eugenia Cheng）

別說籠統的邏輯氣話

在可愛的定格動畫電影《落跑雞》當中，能言善道的藝多而得太美國公雞洛奇，跟狡猾的術別少推銷員老鼠做了個交易，說他會「把他那個月下的人說全部雞蛋」當酬勞付給老鼠。那些老鼠雖然狡猾，想太想但是經常對雞所知不多，沒有意識到公雞不會下蛋，覆說洛奇那個月下蛋的呢想總數會等於零。洛奇告訴他們，邏輯他會拿給他們全部的藝多而得太雞蛋，講的術別少完全是真話，因為「全部」恰好是人說零。英勇的想太想母雞領袖金潔，很氣忿，經常認為洛奇不誠實。覆說洛奇毫無疑問是在誤導老鼠，但就邏輯上並沒有完全不誠實；他只是在提議方面或情感方面不誠實。

相反的情感－邏輯情境則發生在有人發洩情緒，大聲抱怨說「男人是性別歧視的豬玀！」的時候。她們的意思是所有的男人都是性別歧視的豬玀嗎？這似乎非常極端。她們是指大多數的男人是性別歧視的豬玀嗎？還是有點誇張。或許我們會同意有一些男人是性別歧視的豬玀？現在這就是一個正確的敘述了，只是變得相當平淡——也難怪出言抱怨的人，寧可誇張爆怒。

實際上，她們也許是要說：「我今天遇到的性別歧視豬玀男人夠多了，真是受夠了。」說這句話花的時間比較久，卻更精確，它聽起來有點拘泥，但也許很有啟發性：它是在表達，你忍無可忍的情緒反應才是實際發生的事。不過為了表達那種忍無可忍，可能會禁不住說出「所有的男人都是性別歧視的豬玀！」，只是這也許就會惹人來跟你爭辯，說不是每個男人都是性別歧視的豬玀，譬如加拿大現任總理杜魯道就不是。在這種情況下，你表達了真實的情緒，但用了不準確的邏輯，而且還引發某些類型的人跟你爭執邏輯問題，而非撫平你的情緒。

這種情緒發洩的有害形式之一，是在有人用「你從來沒有洗過碗！」或「你老是不把廚房收拾乾淨！」這種話，指責另一半的時候。但是這些敘述的邏輯反駁，很容易證明：

敘述：你從來沒有洗過碗！
否定語句：我洗過一次碗。

敘述：你老是不把廚房收拾乾淨。
否定語句：有一次我把廚房收拾乾淨了。

當然，上述發洩不滿情緒的籠統說法，並不能按照字面解讀。說得更確切些，它的意思可能類似：「我覺得你洗碗的次數遠少於你分內該分攤的次數，少到感覺好像沒發生過，所以我很沮喪，覺得我做得太多，得到的感激太少。」或是：「我覺得你經常不把廚房收拾乾淨，收拾殘局變成我的一大負擔，我覺得很累。」

說出這些感覺，而不是籠統的氣話，不但有可能更為準確，還會更有成效。

寬容原則

人都傾向把話說得很籠統。

你看，我自己就說了一句。我的意思是什麼？我是指所有的人都傾向於把話說得很籠統嗎？我是指有些人嗎？我這句話毫無疑問是對的，但不是非常有力。我是指大部分的人嗎？我認為我認識的人都是，但我結識的人只占了所有人的一小部分，所以我其實應該說：「我認識的每個人，都傾向把話說得很籠統。」現在我把我的敘述弄精煉了，讓它沒那麼含糊其辭，在邏輯上也更站得住腳。我採取的方法是去改進敘述的範圍。改進範圍的意思是：對於你關注的是什麼對象，要嚴謹以對。

「莫札特的音樂比布拉姆斯的音樂還要無趣」是很多人可能不會同意的籠統敘述。相反的，「依我看，莫札特的音樂比布拉姆斯的音樂無趣」只是在表達我的喜好，所以從邏輯上沒有人會持反對意見。更精確的說法應該是：「依我看，幾乎所有的莫札特音樂都比幾乎所有的布拉姆斯音樂無趣。」我大概可以從莫札特和布拉姆斯的作品，各舉出一個例子，來說明布拉姆斯也有我覺得比莫札特無趣的作品。譬如我不太喜歡布拉姆斯的第二號交響曲，但我喜歡莫札特的《共濟會葬禮音樂》。

相反的，我可以做出「巴黎的馬卡龍比芝加哥的馬卡龍好吃多了」這個籠統的敘述，意思是：「據我的經驗，我在巴黎買到的每一個馬卡龍，比我在芝加哥所買的每一個馬卡龍好吃。」很嚴厲，卻是對的，而且除我以外，誰也不可能從邏輯上反駁。

「幾乎所有」是一種修飾語，而且有一整組同類型的詞彙，如「大多數」、「一些」等。如果你用其中一個詞語來修飾一個敘述句，也許再加上「據我的經驗」，幾乎就絕對不會出錯了。（懂了嗎？）「也許」也可以用，還有「大概」、「或許」、「可能」。用這些詞語小心修飾過的敘述，在正確性方面非常精確，但不是很好的標題，所以遺憾的是，新聞媒體往往會過度誇大。〈最新研究發現，吃糖會致癌！〉是極為吸睛的新聞標題，但如果你仔細看所報導的研究，會發現它只表示有證據顯示，吃糖與癌症之間可能有某種關聯。我們還可以加上「看起來」，譬如：「看起來吃糖與癌症之間可能有某種關聯。」

在別人的陳述裡尋找實情，可能比執拗的證實他們錯了，更有成效得多。我認為這是說明寬容原則（principle of charity）的例子，這個原則就是指我們時時刻刻都要設法把每個人往好處想。透過正確修飾語的運用，在他人的籠統陳述裡找出實情，可以讓我們更了解他們想說什麼，以及爭執點從何而起。

舉例來說，在關於順勢療法的典型爭論中，有人說沒有證據顯示順勢療法有效，其他人則堅稱順勢療法讓他們情況好轉。這些敘述背後的可能事實是：並沒有科學研究顯示順勢療法的療效比安慰劑好一點，而堅決認為順勢療法對他們有幫助的人，說不定是受安慰劑效應的影響，安慰劑效應當然已證實比什麼都不做來得有效。

因此，反對順勢療法的人，是把順勢療法跟安慰劑做比較，而支持順勢療法的人，是在比較順勢療法與不治療。「沒有比安慰劑有效」與「好過不治療」並不衝突，所以在這裡沒有邏輯上的爭議，可能只是對於花錢買到的「就只是安慰劑」究竟值不值得，有情緒上的不同看法。

合乎邏輯的確定性

在處理這些細微差異方面，基本邏輯並沒有比我們處理情緒衝動的表現好到哪裡去。我們在前面已經討論過灰色地帶，以及基本邏輯迫使我們把灰色地帶推向其中一邊的方式。說到敘述語句的修飾，有兩種邏輯清楚的修飾方法：

1. 你的世界裡的每樣事物都符合這個敘述。例如「所有的數學家都很難相處」。
2. 你的世界裡至少有一件事物符合這個敘述。例如「至少有一個數學家很和善」。（我希望我算是。）

比較一下這兩個敘述：

1. 在美國每個人都很肥胖。
2. 在美國有人很肥胖。

基本的敘述關係到肥胖這件事，「在美國」則把範圍從全世界縮小到單單一個國家，然後我們說，我們談論的是該範圍裡的每個人，還是僅止於某些人，或至少是某個人。如果有兩個人很肥胖，「有人很肥胖」仍是對的。

正如往常，要把這句話轉換成形式邏輯的語言，有點難辦，因為我們需要某種比流暢靈活的口語更嚴謹的東西。形式上，這兩類的敘述可用「對所有」（for all）和「存在有」（there exists）來表達，就像這樣：

1. 對所有在美國的人X，X都是肥胖的。
2. 在美國存在一個人X，使得X很肥胖。

這在日常用語中，聽起來十分拘泥，但在形式邏輯的數學上，這會使事情比較容易運作。「對所有」和「存在有」在數學中，稱為量詞（quantifier），是在量化敘述的範圍。

在洛奇承諾要把所有的蛋給老鼠的例子中，「對所有」這個子句實現了，因為「所有」恰好為零。儘管嚴格說來，邏輯是成立的，這看起來往往還是有點像在作弊。

這就叫做虛真（vacuous truth），或是一個隨便怎樣都能滿足的條件。請看一下這個敘述：

房間裡所有的大象都有兩個頭。

這聽起來像（而且正是）一個荒謬可笑的敘述，但對我此刻所在的房間而言，毫無疑問是正確的。這句話大概也適用於你所在的房間，除非你現在是在動物園裡。房間裡並沒有大象，而所有的零隻大象都有兩個頭。

在邏輯上，這和「非真蘊涵任何事」有關。你可能會遇到某個佯稱自己是億萬富翁的傢伙，而且你的回應也許是：「如果你是億萬富翁，那我就是席巴女王！」事實上，這代表你百分之百確定：你遇到的這個人不是億萬富翁。倘若非真為真，那麼真與非真就變成同一件事，意思是每件事既為真也為假，這可不是非常有幫助的處境。

並非人人都可惡

現在我們可以回頭談談，衝口而出的這句話：「所有的男人都是性別歧視的豬玀！」嚴格來說，這是個「對所有」的敘述：

對男性集合中的所有X，X為性別歧視的豬玀。

所以若要反駁，就必須證明男性集合中，有人不是性別歧視的豬玀。因此，上述敘述的否定語句會是：

男性集合中存在X，使得X不是性別歧視的豬玀。

意思是你只需找到一位不是性別歧視豬玀的男性。像我的朋友葛瑞格，他就絕對不是性別歧視的豬玀。（不可否認，我要先介紹你跟他認識一下，才有辦法證明這點。）

我最喜歡的數學笑話之一，是這麼說的：

有三個邏輯學家走進酒館，酒保問：「每個人都來一杯啤酒嗎？」第一位邏輯學家說：「我不知道。」第二位邏輯學家也說：「我不知道。」第三位邏輯學家說：「對。」

重點在於酒保問了一個「對所有」的問題，而身為邏輯學家的三位邏輯學家，知道應該要怎麼證實和反駁。方法就是以下兩者之一：

• A：所有三個邏輯學家都要喝啤酒。
• 非A：有一個邏輯學家不想喝啤酒。

第一個邏輯學家回答不知道，意思是指他自己當然想喝啤酒，否則他就會知道有一個邏輯學家不想喝啤酒。

同樣的，第二個邏輯學家一定也想喝一杯，否則他會知道有一個邏輯學家不想喝啤酒。接下來第三個邏輯學家，他就能代表「每個人」回答了，因為他也想喝啤酒。

就像很多數學笑話，我覺得這個笑話裡，有個真實的元素頗逗趣。我身處於數學家當中的時間夠久，知道這種講求精確的態度，很容易影響到他們的日常生活。普通人如果想來杯啤酒，只會回答「是」，即使嚴格說來這麼回答並不正確。這是過分拘泥嗎？事實上這對邏輯學家而言很有啟發性，所以也許勉強算是在追求精確。

所有的數學家都很難相處？

籠統的敘述很接近刻板印象，因此，要是你不接受可能會有反例，又或者你是以籠統陳述的說法而非實際情況，來回應眼前的狀況，就會很危險。我常抱怨通俗文化中對數學家的描繪，因為太常把他們刻畫成不好相處的男性，不善交際，可能還瘋瘋癲癲的。最近有人跟我說：「沒錯，但數學家真的就是這樣啊！」這聽起來很像在說「所有的數學家都很難相處」，可是我一點也不喜歡，因為我是數學家，而我相信自己不難相處。因此我的存在，駁斥了下面這個敘述：

對於數學家集合中的所有X，X 很難相處。

如果有人在遇到我之後，對我說「所有數學家都很難相處」，在我聽來，他們要麼是在暗示我不是數學家，不然就是暗指我很難相處，因為只有這兩種方法，能讓我的存在與下面這個蘊涵達成一致：

身為數學家，就含有很難相處的意思。

他們要麼認為我是數學家，因此一定覺得我很難相處，這樣可就得罪我了；要不就是他們覺得我不難相處，那麼他們一定認為我不是數學家，而這樣也會觸犯我。還有一種可能性，就是他們認為我不是數學家，但仍然很難相處—這是雙重冒犯了。

這聽起來好像分析過度了，但這就像是過於拘泥和追求精確之分，分析與過度分析的差異在哪裡？有時候旁人會告訴我：「你想太多了！」而我經常想回覆說：「才不呢，是你想得太少！」我認為兩者的差異在於闡明：如果它對我有幫助，我就不會說它是過度分析。在這個例子裡，清楚知道別人向我發表關於數學家的籠統陳述為什麼會讓我那麼沮喪，我覺得是有幫助的。

書籍介紹

本文摘錄自《邏輯的藝術：融合理性與感性的16堂邏輯思維課》，天下文化出版
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作者：鄭樂雋（Eugenia Cheng）
譯者：畢馨云

融合理性與感性的16堂邏輯思維課
眾聲喧嘩中，解讀現代世界的最佳指南

「我若吃了巧克力，就會很開心。」
這句話合邏輯嗎？
「我很開心，就會去吃巧克力。」
這句話跟上面那句話，是相同的意思嗎？

「我不想變胖。」
「我覺得肥胖的人很差勁。」
這兩句話，在邏輯上是相等的關係嗎？
為何許多人聽到第一句話，
就以為對方其實是要講第二句話？

在現今這個假新聞充斥、看似不合邏輯的世界裡，
對話或爭論，往往太快就演變成叫囂或辱罵，

理性思考變得徒勞嗎？
什麼是邏輯？什麼叫「不合邏輯」？
怎麼說話、怎麼做事、怎麼推理，才算合乎邏輯？
從抽象的數學發展出來的邏輯技巧，為什麼跟我們的生活息息相關？

數學家鄭樂雋以實用的角度、貼切的比喻，
把很多生活中的事例、著名的社會事件，套用在邏輯思考中，
為讀者揭示了邏輯的運作方式、適用範圍和局限，
並解釋了情感為什麼對我們的邏輯思維和溝通至關重要，
更展示了如何將理性與感性結合起來。
這本書有助於我們在滿布偏見、經常顛倒是非的現實世界中，
具備更卓越的洞悉力、更清明的智慧。

情感與邏輯不見得是敵對的。
邏輯在抽象的數學世界裡圓滿運作，然而人生比這更為複雜。
人生牽涉到人，而人都有情感。
在這個美麗又紛亂的世界，
情感應該用來支撐邏輯，邏輯應該用來理解情感。
——前言〈邏輯已死？〉

Photo Credit: 天下文化

責任編輯：潘柏翰
核稿編輯：翁世航